Задание 8 ЕГЭ по информатике — комбинаторика: слова, номера, перестановки
Разбор задания 8 ЕГЭ по информатике 2026: принцип произведения, размещения, перестановки, метод дополнения. Формулы, примеры, Python-перебор для проверки.
О чём задание
Задание 8 ЕГЭ по информатике — комбинаторика. Ты считаешь количество слов, номеров или последовательностей, удовлетворяющих определённым условиям. В КЕГЭ 2026 это задание стоит 1 первичный балл из 29 и в среднем занимает 3-5 минут.
Специфика задания 8: теория проста (4-5 формул), но их нужно применять быстро и безошибочно. Ошибка здесь — обычно не «не знал формулу», а «не заметил дополнительное условие» или «перепутал, когда с повторами, когда без». Поэтому ключевой навык — методичное, пошаговое чтение условия.
Принцип произведения — фундамент всего
Принцип произведения. Если первое действие можно совершить A способами, второе — B способами, третье — C, и так далее, а действия независимы, то все действия вместе — A × B × C × ... способами.
Пример: если ты выбираешь из 4 букв на первое место и 3 букв на второе независимо, то двухбуквенных слов будет 4 × 3 = 12. Если буквы могут повторяться — 4 × 4 = 16.
На этом принципе построены все формулы комбинаторики задания 8. Если забыл конкретную формулу, можешь вывести её на ходу: перемножь количество вариантов на каждой позиции с учётом ограничений.
Базовые формулы
| Задача | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Слова длины N из K букв (с повторами) | K^N | 4 буквы, длина 3 → 4^3 = 64 |
| Перестановки K различных элементов | K! | 5 элементов → 5! = 120 |
| Размещения из K по N (без повторов, порядок важен) | K! / (K−N)! | 5 по 3 → 60 |
| Сочетания из K по N (порядок не важен) | C(K, N) = K! / (N! × (K−N)!) | 5 по 3 → 10 |
| Перестановки с повторами | N! / (n₁! × n₂! × ...) | ММАМА → 5! / (3! × 2!) = 10 |
Когда какую формулу
- Слова с возможностью повторений символов → K^N.
- Перестановки без повторов, когда используются все элементы → K!.
- Размещения без повторов, когда выбираются N из K и важен порядок → K! / (K−N)!.
- Сочетания без порядка → C(K, N).
Размещения и сочетания в задании 8 встречаются реже. Самый частый тип — слова длины N из алфавита K букв с набором условий. Именно его и разберём подробно.
Типовая задача: слова с условиями
Задача выглядит так:
Сколько существует слов длины N, составленных из букв алфавита A, B, C, D, в которых [некоторое условие]?
Условия бывают разные: «чётные позиции — гласная», «первая не X», «без двух одинаковых подряд», «ровно k букв A», «хотя бы одна гласная». Стратегия одна — разбить задачу на независимые позиции и применить принцип произведения.
Шаблон 1: фиксированные позиции
Пример. Алфавит из 5 букв, слова длины 6, на 1-й позиции буква A, на 6-й позиции B. Остальные — любые.
Решение: позиции 1 и 6 фиксированы (1 способ каждая), позиции 2-5 свободны (5 способов каждая). Всего: 1 × 5 × 5 × 5 × 5 × 1 = 625.
Шаблон 2: ограничения на позиции
Пример. Алфавит из 5 букв, слова длины 4, первая буква не A и не B.
Решение: на 1-й позиции 3 варианта (5 минус 2 запрета), остальные — по 5. Всего: 3 × 5 × 5 × 5 = 375.
Шаблон 3: без повторов рядом
Пример. Алфавит из 4 букв, слова длины 5, никакие две соседние буквы не совпадают.
Решение: на 1-й позиции 4 варианта, на каждой следующей — 3 (любая, кроме предыдущей). Всего: 4 × 3 × 3 × 3 × 3 = 324.
Шаблон 4: без повторов вообще (размещение)
Пример. Алфавит из 7 букв, слова длины 4, все буквы разные.
Решение: на 1-й позиции 7 вариантов, на 2-й — 6, на 3-й — 5, на 4-й — 4. Всего: 7 × 6 × 5 × 4 = 840. Это и есть размещение 7 по 4.
Разбор примера 1: средняя сложность
Условие. Сколько существует шестибуквенных слов (слова могут не иметь смысла) из букв А, Б, В, Г, Д, в которых буква А встречается ровно один раз?
Решение.
- Выбираем позицию для буквы А: 6 способов (любая из шести позиций).
- Оставшиеся 5 позиций заполняем буквами Б, В, Г, Д — на каждой 4 варианта (А туда нельзя, иначе будет две).
- По принципу произведения: 6 × 4^5 = 6 × 1024 = 6144.
Ответ: 6144.
Классическая ловушка: подумать, что раз буква А фиксирована, то просто пишем «4^5» (=1024), забыв умножить на 6 позиций. Всегда задавай себе вопрос: «сколько способов расположить, а не только какими буквами заполнить».
Разбор примера 2: метод дополнения
Условие. Алфавит содержит 4 буквы: А, Б, В, Г. Сколько существует пятибуквенных слов, в которых есть хотя бы одна буква А?
Решение напрямую получилось бы очень сложным: рассматривать случаи «ровно 1 А», «ровно 2 А», ..., «ровно 5 А», считать каждый и суммировать. Проще через дополнение.
- Всего пятибуквенных слов из 4 букв: 4^5 = 1024.
- Слов без буквы А (только из Б, В, Г): 3^5 = 243.
- Слов, где А встречается хотя бы раз: 1024 − 243 = 781.
Ответ: 781.
Метод дополнения — твой лучший друг, когда в условии есть слова «хотя бы один», «не содержит», «есть по крайней мере». Запиши правило: общее − запрещённое = нужное.
Разбор примера 3: пересечение условий
Условие. Сколько существует четырёхбуквенных слов из букв А, Б, В, Г, Д, в которых первая буква — гласная (А), или последняя буква — согласная (Б, В, Г, Д)?
Решение через включение-исключение. Пусть:
- A — множество слов с первой буквой «А»: 1 × 5 × 5 × 5 = 125.
- B — множество слов с последней согласной: 5 × 5 × 5 × 4 = 500.
- A ∩ B — слов, где первая А и последняя согласная: 1 × 5 × 5 × 4 = 100.
По принципу включения-исключения: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 125 + 500 − 100 = 525.
Ответ: 525.
Классическая ошибка — забыть вычесть пересечение и получить 125 + 500 = 625 (на 100 больше правильного). Всегда рисуй диаграмму Эйлера-Венна, если условий больше одного.
Задачи на номера
Подтип «числовые номера» считается аналогично словам, только алфавит — цифры 0-9. Особенность — иногда первая цифра не может быть 0 (ведущий ноль):
Пример. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 5?
Решение: на первой позиции нельзя 0 и 5 → 8 вариантов, на остальных — нельзя 5 → 9 вариантов. Итого: 8 × 9 × 9 × 9 = 5832.
Если бы разрешался ведущий ноль (то есть речь шла о «последовательности из 4 цифр»), было бы 9 × 9 × 9 × 9 = 6561.
Подсчёт через дополнение: шпаргалка
| Формулировка | Подход |
|---|---|
| «не содержит X» | всё − содержащие X |
| «содержит хотя бы одну X» | всё − не содержащие X |
| «не начинается с X» | всё − начинающиеся с X |
| «нет двух одинаковых подряд» | напрямую (принцип произведения, см. шаблон 3) |
| «есть хотя бы два X» | всё − (нет X) − (ровно один X) |
Python-перебор как проверка
Главное преимущество КЕГЭ — компьютер на столе. Всегда можешь проверить свой ответ полным перебором, если K и N невелики.
from itertools import product
# Пример 1: шестибуквенные слова из 5 букв, А встречается ровно один раз
alphabet = "АБВГД"
count = 0
for word in product(alphabet, repeat=6):
if word.count("А") == 1:
count += 1
print(count) # 6144
# Пример 2: пятибуквенные слова из 4 букв, хотя бы одна А
alphabet = "АБВГ"
count = 0
for word in product(alphabet, repeat=5):
if "А" in word:
count += 1
print(count) # 781
# Пример 3: четырёхбуквенные слова, первая А или последняя согласная
alphabet = "АБВГД"
consonants = "БВГД"
count = 0
for word in product(alphabet, repeat=4):
if word[0] == "А" or word[-1] in consonants:
count += 1
print(count) # 525
itertools.product перебирает декартово произведение (слова с повторами). Если нужны перестановки — itertools.permutations, сочетания — itertools.combinations. При K^N до ~10^7 перебор идёт доли секунды.
Важно: не пиши всю задачу через перебор. Решай формулой, перебором только проверяй. На контрольных этапах и в реальных заданиях ЕГЭ переборы используются как страховка, а не как основной инструмент.
Типичные ошибки
| Ошибка | Как распознать | Как избежать |
|---|---|---|
| Не учёл ведущий ноль | Ответ кратен 10, но условие про числа | Прочитай: «число» или «последовательность цифр»? |
| Забыл пересечение условий | Считал через «или» как сумму | Всегда включение-исключение для «или» |
| Перепутал размещение и сочетание | Ответ в N! раз больше/меньше | Спрашивай: «порядок важен?» |
| Посчитал «с повторами» вместо «без» | Использовал K^N вместо K! / (K−N)! | Выделяй из условия «различные» / «не повторяются» |
| Забыл умножить на выбор позиции | Получил ответ в N раз меньше | См. пример 1 выше |
| Неправильно понял «хотя бы» | Считал «ровно один» | Всегда решай через дополнение |
| Пропустил условие на чётные/нечётные | Ответ в разы больше нужного | Подчёркивай все ограничения в условии |
Тайминг
3-5 минут на задание 8. План:
- 30 секунд — прочитать условие, выписать параметры (N, K, ограничения).
- 1 минута — выбрать метод: прямой подсчёт, размещение, дополнение, включение-исключение.
- 1-2 минуты — применить формулу, посчитать.
- 30 секунд — проверить Python-перебором при сомнениях.
Если завис на 7-й минуте — пропускай и возвращайся. Задание стоит 1 балл, и лучше решить задание 12 или задание 6, чем залипнуть на 8-м.
Связь с другими заданиями
Комбинаторика появляется и в других заданиях ЕГЭ:
- Задание 10 — подсчёт слов в тексте (близкий по духу, но без формул комбинаторики).
- Задание 11 — информационный объём, где нужны алфавит и длина (см. задание 7).
- Задание 14 — системы счисления, где иногда считаются количества чисел с определёнными свойствами.
- Задание 16 — рекурсия, где комбинаторные формулы помогают оценить количество вызовов.
Если ты набираешь на 90+ баллов, задание 8 должно быть у тебя в кармане: быстрое, проверяемое Python, не тратит ресурс мозга. Потрать час сейчас, чтобы закрыть его до конца подготовки.
А если идёшь с нуля, задание 8 — в первой тройке того, что стоит освоить сразу после заданий 1 и 6: минимум теории, 100% попадание при аккуратном чтении условия.
Чек-лист перед экзаменом
- Знаю четыре ключевые формулы: K^N, K!, K!/(K−N)!, C(K, N).
- Умею сразу отличать задачу на размещение от задачи на слова с повторами.
- Применяю метод дополнения при словах «хотя бы», «не содержит».
- Использую включение-исключение при словах «или».
- Помню про ведущий ноль в задачах про числа.
- Умею писать быстрый перебор через
itertools.product. - Читаю условие дважды, выделяю все ограничения.
- Не путаю «ровно один» и «хотя бы один».
Возьми банк ФИПИ, прорешай 20 разных задач подряд — шаблоны встанут на автомат. После этого задание 8 почти никогда не теряется на реальном экзамене.