Как решать задание 14 ЕГЭ по информатике — системы счисления

О чём задание 14

Задание 14 КЕГЭ проверяет, как ты работаешь с позиционными системами счисления: умеешь ли переводить числа между основаниями, выполнять арифметику в двоичной, искать неизвестное основание или минимальное число с заданными свойствами. Это задание повышенного уровня сложности, 1 первичный балл, и ответ — короткое целое число.

В КЕГЭ 2026 у тебя 235 минут на 27 заданий. Типичный план — выдать задание 14 за 4-6 минут. Если знаешь Python и уверенно владеешь тетрадами, это один из самых «дешёвых» баллов в экзамене. Основные изменения всей КЕГЭ-2026 разобраны в статье ЕГЭ по информатике 2026 — что изменилось.

Теория: позиционные системы счисления

Что такое позиционная система

Позиционная означает, что значение цифры зависит от её позиции. Число 325 в десятичной записи — это 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰. В двоичной 101 — это 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 5. Основание системы — это число, в степенях которого раскладывается запись.

Самые частые в ЕГЭ:

Система	Основание	Цифры
Двоичная	2	0, 1
Троичная	3	0, 1, 2
Восьмеричная	8	0–7
Десятичная	10	0–9
Шестнадцатеричная	16	0–9, A, B, C, D, E, F

Запись 123₈ означает «123 в восьмеричной». В задачах тебе встретятся записи вида A15₁₆, 1011₂, 24₃ и т.д.

Перевод в десятичную — по определению

Самый надёжный способ: разложи по степеням основания и сложи.

Пример. Перевести 1A3F₁₆ в десятичную.

1A3F = 1·16³ + 10·16² + 3·16¹ + 15·16⁰
     = 1·4096 + 10·256 + 3·16 + 15·1
     = 4096 + 2560 + 48 + 15
     = 6719

Перевод из десятичной — деление с остатком

Делишь число на основание, записываешь остатки справа налево. Делишь, пока частное не станет 0.

Пример. Перевести 45 в двоичную.

45 / 2 = 22 остаток 1
22 / 2 = 11 остаток 0
11 / 2 = 5  остаток 1
5 / 2  = 2  остаток 1
2 / 2  = 1  остаток 0
1 / 2  = 0  остаток 1

Ответ: читаем остатки снизу вверх — 101101₂. Проверка: 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Сходится.

Тетрады и триады — быстрый мост между СС

Поскольку 16 = 2⁴ и 8 = 2³, между этими системами есть волшебный приём:

• 1 шестнадцатеричная цифра = 4 двоичных цифры (тетрада)
• 1 восьмеричная цифра = 3 двоичных цифры (триада)

Таблица тетрад — стоит знать наизусть:

Hex	Dec	Bin		Hex	Dec	Bin
0	0	0000		8	8	1000
1	1	0001		9	9	1001
2	2	0010		A	10	1010
3	3	0011		B	11	1011
4	4	0100		C	12	1100
5	5	0101		D	13	1101
6	6	0110		E	14	1110
7	7	0111		F	15	1111

Пример. Перевести 2AF₁₆ в двоичную через тетрады:

2   A    F
0010 1010 1111

Ответ: 001010101111₂, или без ведущих нулей — 1010101111₂.

Обратно — группируешь справа налево по 4 бита, при нехватке добавляешь нули:

110101100 → 0001 1010 1100 → 1AC₁₆

Арифметика в двоичной

Сложение столбиком по тем же правилам, что и в десятичной, только перенос при 2, а не при 10:

  1011
+ 0110
------
 10001

Таблица сложения в двоичной: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (ноль и перенос 1).

Умножение на 2ⁿ — это сдвиг влево на n позиций. Например, 101₂ · 4 = 10100₂ (сдвинули на 2 бита). Это полезный приём, когда надо быстро возвести двойку в степень или умножить/поделить.

Python как калькулятор

В КЕГЭ ты сидишь за компьютером, и Python — это легальный супер-инструмент. Для систем счисления запомни четвёрку функций:

# Из двоичной/восьмеричной/шестнадцатеричной в десятичную
int("101", 2)       # -> 5
int("777", 8)       # -> 511
int("AB", 16)       # -> 171
int("10212", 3)     # -> 104  (работает с любым основанием 2-36)

# Из десятичной в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную
bin(5)              # -> '0b101'
oct(511)            # -> '0o777'
hex(171)            # -> '0xab'

# Убрать префиксы
bin(5)[2:]          # -> '101'
hex(171)[2:].upper()# -> 'AB'

Лайфхак для произвольного основания — пиши функцию:

def to_base(n, b):
    if n == 0:
        return "0"
    digits = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    s = ""
    while n:
        s = digits[n % b] + s
        n //= b
    return s

print(to_base(100, 7))  # -> '202'

Эта функция сэкономит тебе минуты в задачах, где нужно перебирать основания или смотреть запись числа в «экзотической» системе.

Больше боевых Python-приёмов для КЕГЭ собрано в Python-идиомы для ЕГЭ и в материале Python или C++ на ЕГЭ.

Типы задач в задании 14

1. Значение выражения в разных СС — даны числа в разных системах, нужно сложить/вычесть и записать ответ в указанной системе.
2. Найти основание p — дано равенство, надо определить, при каком основании оно верно.
3. Минимальное/максимальное число с условием на цифры — например, найти минимальное число, в двоичной записи которого ровно 5 единиц и оно делится на 7.
4. Количество единиц (или нулей) в двоичной записи — для одного числа или для всех чисел из диапазона.

Пошаговые разборы

Пример 1. Значение выражения (базовый уровень)

Условие. Вычисли значение выражения A5₁₆ + 101₃. Ответ запиши в восьмеричной системе.

Решение руками.

Шаг 1. Переводим каждое слагаемое в десятичную.

A5₁₆ = 10·16 + 5 = 165
101₃ = 1·9 + 0·3 + 1 = 10

Шаг 2. Складываем в десятичной: 165 + 10 = 175.

Шаг 3. Переводим 175 в восьмеричную делением:

175 / 8 = 21 остаток 7
21  / 8 = 2  остаток 5
2   / 8 = 0  остаток 2

Читаем снизу вверх: 257₈. Это и есть ответ.

Решение на Python (для самопроверки):

a = int("A5", 16)
b = int("101", 3)
print(oct(a + b)[2:])   # -> '257'

Пример 2. Поиск основания p (средний уровень)

Условие. Найди основание p системы счисления, при котором верно равенство 123ₚ + 33ₚ = 201ₚ.

Решение руками. Запишем обе части в виде многочленов по p:

Левая:  (1·p² + 2·p + 3) + (3·p + 3) = p² + 5p + 6
Правая: 2·p² + 0·p + 1            = 2p² + 1

Уравнение: p² + 5p + 6 = 2p² + 1 → p² - 5p - 5 = 0.

Дискриминант: 25 + 20 = 45. Не целый корень — значит, в этом месте я бы перепроверил арифметику или перешёл к перебору. Кстати, перебор на Python быстрее рассуждений:

for p in range(4, 37):       # все цифры должны быть < p, минимум 4 (т.к. есть цифра 3)
    a = int("123", p)
    b = int("33", p)
    c = int("201", p)
    if a + b == c:
        print(p)

Проверка допустимости основания: самая большая цифра в записи — 3, значит p ≥ 4. Запускаем цикл — получаем значение p, при котором равенство верно. На экзамене такой перебор занимает 30 секунд вместе с написанием кода.

Пример 3. Минимальное число с условиями (сложный уровень)

Условие. Найди минимальное натуральное число N, большее 150, двоичная запись которого содержит ровно 5 единиц. В ответе укажи N в десятичной системе.

Решение на Python. Ручной разбор тут не нужен — пишем перебор:

N = 151
while True:
    if bin(N).count("1") == 5:
        print(N)
        break
    N += 1

Метод .count("1") у строки считает количество единичек в двоичной записи (после bin() отбрасываем префикс 0b, но count считает только единицы, так что префикс не мешает — 0b не содержит 1).

Как это решать без Python (для понимания). Чтобы число было минимальным при фиксированном числе единиц, единицы должны стоять в младших разрядах. Для 5 единиц самое маленькое число — 11111₂ = 31. Но нам нужно N > 150. Двоичная запись 150 — 10010110₂. Подбираем минимальное число больше 150 с ровно 5 единицами — это 10011011₂ (8 бит, 5 единиц) = 155. Проверка: bin(155) = '0b10011011', пять единиц, 155 > 150. Ответ: 155.

Типичные ошибки

1. Путаница с основанием. Записал ответ в десятичной, когда просили в двоичной. Всегда перечитывай последнюю строку условия.
2. Потеря ведущих нулей при тетрадах. Преобразовал A в 1010, но в середине числа написал 10 — сломал разрядность. Всегда дописывай тетраду до 4 бит: 1010, а не 1010 без учёта позиции.
3. Неверная проверка допустимости цифр. В задаче на поиск основания p забыл, что основание должно быть строго больше максимальной цифры в записи. Например, в записи 123ₚ цифра 3 требует p ≥ 4.
4. Переполнение при большой степени. В Python это не проблема (целые неограниченной разрядности), но на бумаге легко ошибиться, считая 2²⁰. Лучше посчитать на машине.
5. Не ту систему выбрал при переводе через тетрады. Тетрады — только для шестнадцатеричной. Для восьмеричной — триады (по 3 бита). Путать их нельзя.
6. Забыл обработать ноль. bin(0) возвращает '0b0', и функция to_base(0, b) без отдельной ветки даст пустую строку. Это граничный случай, но в задачах на поиск минимума он иногда всплывает.

О других грабельках на КЕГЭ — в разборе Частые ошибки на ЕГЭ по информатике.

Тайминг и стратегия

Ориентир для задания 14 — 4-6 минут. Если за 7-8 минут ты не видишь подхода, поставь галочку и вернись после первого прохода. Задание 14 стоит 1 балл, как и 25 других, так что зависать на нём в ущерб следующим заданиям невыгодно. О том, как распределять 235 минут на весь экзамен, подробно в статье Как набрать 90+ баллов на ЕГЭ по информатике.

Минимальный чек-лист перед задачей:

1. Прочитал условие дважды — понял, в какой системе ответ.
2. Определил, задача на вычисление или на поиск (поиск → сразу думай о переборе).
3. Выписал числа в десятичной через Python, проверил себя.
4. Записал ответ в нужной системе, без ведущих нулей.

Что тренировать

• Таблица тетрад наизусть — 5 минут в день в течение недели, и ты переводишь двоичную ↔ шестнадцатеричную за секунды.
• Перевод из десятичной делением — набей руку, чтобы не ошибаться с остатками.
• Функции bin, oct, hex, int(s, base) — доведи до автоматизма.
• Универсальная to_base(n, b) — запомни шаблон, пригодится в 14, 15, 16 и в олимпиадах.
• Прогон вариантов — хотя бы 20 задач из банка ФИПИ. Паттерны повторяются, и после 20 задач ты начинаешь узнавать типы с первого взгляда.

План подготовки к ЕГЭ целиком есть в материалах План подготовки к ЕГЭ за 3 месяца и План подготовки к ЕГЭ с нуля.

Итог

Задание 14 — 1 балл повышенной сложности на системы счисления. Держи в голове три инструмента: определение (разложение по степеням), деление с остатком (десятичная → произвольная), тетрады (двоичная ↔ шестнадцатеричная). Python — в трёх функциях: bin, hex, int(s, base). Тайминг — 4-6 минут. При правильной тренировке это один из самых стабильных баллов в твоём портфеле.